Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$$+\frac{{y}^{2}}{n}$=1（0＜n＜2）．
（Ⅰ）若椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$，求n的值；
（Ⅱ）若过点N（-2，0）任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，在x轴上是否存在点M，使得∠NMA+∠NMB=180°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a²=2，b²=n，所以c²=2-n，又e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得n
（ II）若存在点M（m，0），使得∠NMA+∠NMB=180°，
则直线AM和BM的斜率存在，分别设为k₁，k₂．等价于k₁+k₂=0．
依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=k（x+2）．与椭圆方程联立，利用△＞0．求出．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理，通过令k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}$=0，求出m．

解答 解：（Ⅰ）因为a²=2，b²=n，所以c²=2-n，
又e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得n=$\frac{3}{2}$
（ II）若存在点M（m，0），使得∠NMA+∠NMB=180°，
则直线AM和BM的斜率存在，分别设为k₁，k₂．等价于k₁+k₂=0．
依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=k（x+2）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{n}=1}\end{array}\right.$得（2k²+n）x²-8k²x+8k²-2n=0．
因为直线l与椭圆C有两个交点，所以△＞0．
即（8k²）²-4（2k²+n）（8k²-2n）＞0，解得k²＜$\frac{n}{2}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+n}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2n}{2{k}^{2}+n}$．
y₁=k（x₁+2），y₂=k（x₂+2）．
令k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}$=0，（x₁-m）y₂+（x₂-m）y₁=0，
（x₁-m）k（x₂+2）+（x₂-m）k（x₁+2）=0，
当k≠0时，2x₁x₂-（m-2）（x₁+x₂）-4m=0，$\frac{n（m+1）}{2{k}^{2}+n}=0$，∴m=-1．
当k=0时，也成立．
所以存在点M（-1，0），使得∠PQM+∠PQN=180°．

点评 本题考查直线与椭圆的综合应用，考查转化思想的应用，存在性问题的处理方法，考查分析问题解决问题的能力，属于难题．