Question

17．已知函数f（x）=$\frac{mx{\;}^{2}+2}{3x+n}$是奇函数，且f（2）=$\frac{5}{3}$．
（1）求实数m和n的值；
（2）判断函数f（x）在（-∞，0）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）利用函数是奇函数的定义，列出方程，比较求解n，利用f（2）=$\frac{5}{3}$，求解m即可．
（2）利用函数的单调性的定义判断求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴$\frac{m{x}^{2}+2}{-3x+n}$=-$\frac{mx{\;}^{2}+2}{3x+n}$=$\frac{m{x}^{2}+2}{-3x-n}$．
比较得n=-n，n=0．
又f（2）=$\frac{5}{3}$，∴$\frac{4m+2}{6}$=$\frac{5}{3}$，解得m=2．
即实数m和n的值分别是2和0．
（2）函数f（x）在（-∞，-1]上为增函数，在（-1，0）上为减函数．
证明如下：由（1）可知f（x）=$\frac{2x2+2}{3x}$=$\frac{2x}{3}$+$\frac{2}{3x}$．
设x₁＜x₂＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{3}$（x₁-x₂）$\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1-\frac{1}{x1x2}））$
=$\frac{2}{3}$（x₁-x₂）•$\frac{x1x2-1}{x1x2}$．
当x₁＜x₂≤-1时，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（-∞，-1]上为增函数；
当-1＜x₁＜x₂＜0时，
x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（-1，0）上为减函数．

点评 本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的综合应用，考查计算能力．