Question

13．设a∈R，若对任意的x＞0均有（ax-1）（x²-（a+1）x-1）≥0，则a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 a=0时，不等式不可能恒成立；a≠0，若对任意的x＞0时均有（ax-1）•[x²-（a+1）x-1]≥0，则函数y₁=ax-1，y₂=x²-（a+1）x-1，与x轴交于同一点，代入可得答案．

解答 解：（1）a=0时，代入题中不等式明显不恒成立．
（2）a≠0，构造函数y₁=ax-1，y₂=x²-（a+1）x-1，它们都过定点P（0，-1），

考查函数y₁=ax-1：
令y=0，得M（$\frac{1}{a}$，0），
∴a＞0；
考查函数y₂=x²-（a+1）x-1，
∵x＞0时均有（ax-1）[x²-（a+1）x-1]≥0，
∴y₂=x²-（a+1）x-1过点M（$\frac{1}{a}$，0），
代入得：（$\frac{1}{a}$）²-（a+1）•$\frac{1}{a}$-1=0，
解之得：a=$\frac{1}{2}$，或a=-1（舍去）．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识点为函数恒成立问题，函数的图象和性质，分类讨论思想，数形结合思想，难度中档．