Question

15．已知数列{a_n}满足$\frac{1}{{a}_{n+1}-4}$=$\frac{{a}_{n}}{4（{a}_{n}-4）}$，且a₁=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n为数列{$\frac{\sqrt{{a}_{n}}-2}{\sqrt{n+1}}$}的前n项和，证明：S_n＜2．

Answer 1

分析 （1）推导出$\frac{1}{{a}_{n+1}-4}$=$\frac{1}{{a}_{n}-4}+\frac{1}{4}$，从而得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}-4}$}是以$\frac{1}{4}$为首项，以$\frac{1}{4}$为公差的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由$\frac{\sqrt{{a}_{n}}-2}{\sqrt{n+1}}$=$\frac{\sqrt{\frac{4n+4}{n}}-2}{\sqrt{n+1}}$=2（$\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$），利用裂项求和法能证明S_n＜2．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足$\frac{1}{{a}_{n+1}-4}$=$\frac{{a}_{n}}{4（{a}_{n}-4）}$，且a₁=8，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-4}$=$\frac{{a}_{n}}{4（{a}_{n}-4）}$=$\frac{\frac{1}{4}（{a}_{n}-4+4）}{{a}_{n}-4}$
=$\frac{1}{4}（1+\frac{4}{{a}_{n}-4}）$=$\frac{1}{{a}_{n}-4}+\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-4}-\frac{1}{{a}_{n}-4}=\frac{1}{4}$，
又$\frac{1}{{a}_{1}-4}=\frac{1}{8-4}=\frac{1}{4}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}-4}$}是以$\frac{1}{4}$为首项，以$\frac{1}{4}$为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-4}$=$\frac{1}{4}+（n-1）×\frac{1}{4}$=$\frac{n}{4}$，
∴a_n-4=$\frac{4}{n}$，∴a_n=$\frac{4n+4}{n}$，
n=1时，a₁=$\frac{4×1+4}{1}$=8，满足通项公式
数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{4n+4}{n}$．
证明：（2）$\frac{\sqrt{{a}_{n}}-2}{\sqrt{n+1}}$=$\frac{\sqrt{\frac{4n+4}{n}}-2}{\sqrt{n+1}}$
=$\frac{2（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}{\sqrt{n+1}•\sqrt{n}}$=2（$\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$）
∴数列{$\frac{\sqrt{{a}_{n}}-2}{\sqrt{n+1}}$}的前n项和：
S_n=2（$\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$）
=2（1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$）
=2-$\frac{2}{\sqrt{n+1}}$，
∴S_n＜2．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于2的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．