Question

1．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{4}{5}t}\\{y=-1-\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．

Answer 1

分析 先两边同乘以ρ，利用公式即可得到圆的圆心和半径，再将参数方程化为普通方程，结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．

解答 解：⊙C的方程化为ρ=cosθ-sinθ，两边同乘以ρ，得ρ²=ρcosθ-ρsinθ
由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得x²+y²-x+y=0…（5分）
其圆心C坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），半径：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{4}{5}t}\\{y=-1-\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），的普通方程为3x+4y+1=0，
∴圆心C到直线l的距离d=$\frac{|3×\frac{1}{2}-4×\frac{1}{2}+!|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{5}$=$\frac{1}{10}$，
∴弦长：2$\sqrt{（{\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}-（\frac{1}{10}）^{2}}$=$\frac{7}{5}$…（10分）

点评 考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．属于中等题．