题目内容

已知 $数学公式$ 在x=1与 $数学公式$ 处都取得极值．
（1）求m，n的值；
（2）若对 $数学公式$ 时， $数学公式$ 恒成立，求c的取值范围；

解：（1） $\text{[math]}$ ，由求函数极值的过程可知1与 $\text{[math]}$ 为
方程 $\text{[math]}$ 的两个根．代入得 $\text{[math]}$
解之得 $\text{[math]}$ ．（5分）
（2）由（1）得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（7分）
故当 $\text{[math]}$ 时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
当 $\text{[math]}$ 时，f′（x）＞0，f（x）增函数，
当x∈（1，4]时，f′（x）＞0，f（x）是减函数，
又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
f（4）- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴在 $\text{[math]}$ 上，f（x）的最小值为 $\text{[math]}$ （10分）
使 $\text{[math]}$ 恒成立，只要 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴0＜c＜4（12分）
分析：（1）利用f′（1）=0，和 f′（ $\text{[math]}$ ）=0可以求出m，n的值．
（2）由f′（x）的符号判断f（x）的单调性，根据f（x）的单调性求出f（x）的最小值，
要使 $\text{[math]}$ 恒成立，需f（x）的最小值大于lnc- $\text{[math]}$ ，从而求出c的取值范围．
点评：本题考查函数在某点存在极值的条件，函数的恒成立问题往往需要研究函数的最值．