Question

当n∈N⁺时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数．如N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（10）=5，记S（n）=N（2^n-1）+N（2^n-1+1）+…+N（2ⁿ-1）（n∈R⁺）则：（1）S（3）=________；（2）S（n）=________．

Answer 1

解：因N（2ⁿ）=1，
当n为奇数时，N（n）=n，
在从2^n-1到2ⁿ-1这2^n-1个数中，奇数有2^n-2个，偶数有2^n-2个．
在这2^n-2个偶数中，不同的偶数的最大奇因数一定不同，
从2^n-1到2ⁿ-1共有2^n-1个数，而1到2ⁿ-1共有2^n-1个不同的奇数，
故有N（2^n-1）=2¹-1=1，N（2^n-1+1）=2²-1=3，…，N（2ⁿ-1）=2ⁿ-1．
那么S（n）=N（2^n-1）+N（2^n-1+1）+N（2^n-1+2）+…+N（2ⁿ-1）
=1+3+5+…+2ⁿ-1==4^n-1．
当n=3时，S（3）=16．
故答案为：16；4^n-1．
分析：由题意当n∈N^*时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，利用此定义有知道N（2ⁿ）=1，当n为奇数时，N（n）=n，在从2^n-1到2ⁿ-1这2^n-1个数中，奇数和偶数各有2^n-2个．且在这2^n-2个偶数中，不同的偶数的最大奇因数一定不同，那么N（2^n-1）+N（2^n-1+1）+N（2^n-1+2）+…+N（2ⁿ-1），利用累加法即可求得．
点评：此题重点考查了学生对于新定义的准确理解，另外找准要求的和式具体的数据，有观察分析要求的和式的特点选择累加求和，并计算中需用等比数列的求和公式，重点是了学生的理解能力及计算能力．