Question

11．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2sin（${\frac{π}{4}$+x）cos（${\frac{π}{4}$+x），则f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}}$]上的最大值与最小值之差为3．

Answer 1

分析 利用辅助角公式和两角和与差的正弦公式对函数解析式进行变形，然后由正弦函数图象的性质来求其值域．

解答 解：$f（x）=\sqrt{3}sin2x+sin（{\frac{π}{2}+2x}）=\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，
当$x∈[{0\;\;，\;\;\frac{π}{2}}]$时，$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}\;\;，\;\;\frac{7π}{6}}]$，
故$sin（{2x+\frac{π}{6}}）∈[{-\frac{1}{2}\;\;，\;\;1}]$，
即函数f（x）的值域为[-1，2]，
所以f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}}$]上的最大值与最小值之差为：2-（-1）=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．