Question

已知函数．

(1)当a=1时，求曲线在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的值；

(3)若对任意，且恒成立，求a的取值范围．

 

Answer 1

（1）（2）.（3）.

【解析】

试题分析：（1）当时，.

利用切线的斜率等于在切点处的导函数值，可得斜率得解.

（2）函数的定义域是. 根据当时、当、当时、当时等 几种情况，“求导数，求驻点，讨论区间单调性，确定函数的最值”，建立的方程.

（3）设，问题转化成“只要在上单调递增即可.”

当时，根据，知在上单调递增；

当时，只需在上恒成立，问题转化成“只要”.

（1）当时，.

因为. 2分

所以切线方程是 3分

（2）函数的定义域是.

当时，

令，即，

所以或. 6分

当，即时，在［1，e]上单调递增，

所以在［1，e]上的最小值是，解得； 7分

当时，在［1，e]上的最小值是，即令，，

，而，，不合题意； 9分

当时，在[1，e]上单调递减，

所以在［1，e]上的最小值是，解得，不合题意

所以.

（3）设，则，

只要在上单调递增即可. 11分

而

当时，，此时在上单调递增； 12分

当时，只需在上恒成立，因为，只要，

则需要， 13分

对于函数，过定点（0，1），对称轴，只需，

即. 综上. 14分

考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，导数的几何意义，不等式恒成立问题，转化与化归思想，分类讨论思想.