题目内容
(
东北师大附中模拟)如下图，在直角梯形
中，
，
，
，BC=3，
，A是
的中点，E是线段AB的中点，沿AB把平面
折起到平面PAB的位置，使二面角P—CD—B成45°．
(1)
求证：PA⊥平面ABCD；(2)
求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小．
答案：略
解析：
解析：
|
解析：证明： (1)∵AB⊥PA，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD．∵ AB∥DC，DC⊥平面PAD．∴ DC⊥PD，DC⊥AD，∴∠PDA为二面角P－CD－B的平面角． (3分)故∠ PDA=45°．∵PA=AD=3，∴∠ APD=45°．∴PA⊥AD．又 PA⊥AB，∴PA⊥平面ABCD． (6分)(2) 证法一：延长DA，CE交于点N，连结PN，由折叠知 PE=NE，又∵E为中点，∴NE=CE．∴ PE=NE=CE，PN⊥PC．又由 (1)知PN⊥PD．∴∠ CPD为二面角C－PN－D的平面角． (9分)在直角三角形 PDC中， ，∴∠CPD=30°．
即平面 PEC和平面PAD所成锐二面角为30°． (12分)
证法二：如图建立空间直角坐标系 A－xyz，则 P(0，0，3)，D(0，3，0)，E ，C ．
∴  ， ，
设 n=(x，y，z)为平面PEC的法向量，则
又平面 PAD的法向量 ，
∴  ．
∴  ，即所求二面角为30°． |
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]|
A ．50种 |
B ．49种 |
C ．48种 |
D ．47种 |
α，a∥β
α，b
β，a∥β，b∥α
α，b
β，a∥β，b∥α