Question

10．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+log₂x．
（1）求f（2），f（$\frac{1}{2}$），f（4），f（$\frac{1}{4}$）的值，并计算f（2）+f（$\frac{1}{2}$），f（4）+f（$\frac{1}{4}$）；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…f（$\frac{1}{2016}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+log₂x，能求出f（2），f（$\frac{1}{2}$），f（4），f（$\frac{1}{4}$），f（2）+f（$\frac{1}{2}$），f（4）+f（$\frac{1}{4}$）的值．
（2）由f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，能求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…f（$\frac{1}{2016}$）的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+log₂x，
∴f（2）=$\frac{4}{1+4}+1$=$\frac{9}{5}$，
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}-1=-\frac{4}{5}$，（2分）
f（4）=$\frac{16}{1+16}+2=\frac{50}{17}$，
f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{\frac{1}{16}}{1+\frac{1}{16}}-2=-\frac{33}{17}$，（4分）
∴f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=1，f（4）+f（$\frac{1}{4}$）=1．（6分）
（2）∵f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$lo{g}_{2}x+\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}+lo{g}_{2}\frac{1}{x}$=1，（9分）
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…f（$\frac{1}{2016}$）
=f（1）+[f（2）+f（$\frac{1}{2}$）]+[f（3）+f（$\frac{1}{3}$）]+…+[f（2016）+f（$\frac{1}{2016}$）]
=$\frac{1}{2}+2015×1$
=$\frac{4031}{2}$．（12分）

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．