Question

18．扇形AOB的中心角为2θ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），半径为r，在扇形AOB中作内切圆O₁与圆O₁外切，与OA，OB相切的圆O₂，问sinθ为何值时，圆O₂的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 设圆O₁及与圆O₂的半径分别为r₁，r₂，运用圆与圆的位置关系和圆的面积公式进行求解．

解答 设圆O₁及与圆O₂的半径分别为r₁，r₂，
则$\left\{\begin{array}{l}{（r-{r}_{1}）sinθ={r}_{1}}\\{（{r}_{1}+{r}_{2}）cos（\frac{π}{2}-θ）={r}_{1}-{r}_{2}}\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}{{r}_{1}=\frac{rsinθ}{1+sinθ}}\\{{r}_{2}=\frac{{r}_{1}（1-sinθ）}{1+sinθ}}\end{array}\right.$
∴${r}_{2}=\frac{rsinθ（1-sinθ）}{（1+sinθ）^{2}}$，
∵0＜2θ＜2π，
∴0＜θ＜π，
令t=1+sinθ，（1＜t＜2）．
那么：${r}_{2}=\frac{-{t}^{2}+3t-2}{{t}^{2}}$=$-2（\frac{1}{t}-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{1}{8}$，
当$\frac{1}{t}=\frac{4}{3}$，即sinθ=$\frac{1}{3}$时，圆O₂的半径最大，圆O₂的面积最大，
最大值是$\frac{{r}^{2}π}{64}$．

点评 本题考查了圆与圆的关系式问题，正确掌握圆与圆的位置关系是准确解题的关键．属于中档题．