Question

关于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0．
（1）若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为a和b，求上述方程有实根的概率；
（2）若从区间[0，6]中随机取两个数a和b，求上述方程有实根且a²+b²≤36的概率．

Answer 1

考点：几何概型,列举法计算基本事件数及事件发生的概率

专题：概率与统计

分析：记事件A=“方程x²-2ax+b²=0有实根”．由△=（2a）²-4b²≥0，得：a²≥b²，当a≥0，b≥0时，方程x²-2ax+b²=0有实根?a≥b．
（1）基本事件共6×6=36个，其中事件A包含21个基本事件，由此能求出方程有实根的概率．
（2）全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，其面积为S=3×2=6，又构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，其面积为S′=3×2-

1

2

×22=4，由此能求出方程有实根的概率．

解答： 解：记事件A=“方程x²-2ax+b²=0有实根”．
由△=（2a）²-4b²≥0，得：a²≥b²
所以，当a≥0，b≥0时，方程x²+2ax+b²=0有实根?a≥b（2分）
（1）基本事件共6×6=36个，
其中事件A包含21个基本事件：
（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），
（4，2），（4，3），（4，4）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
（5，5），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）
所以P（A）=

21

36

=

7

12

（6分）
（2）全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤6}，
其面积为S=6×6=36．
又构成事件“方程有实根且a²+b²≤36”的区域面积为

1

4

π×62=9π，
所以 P（A）=

9π

36

=

π

4

（10分）

点评：本题考查古典概率、几何概型及其运算公式，解题时要认真审题，仔细解答，找出构成事件的区域表示，注意合理地进行等价转化．