Question

已知函数的图象为曲线C，函数的图象为直线l．
（Ⅰ） 设m＞0，当x∈（m，+∞）时，证明：
（Ⅱ） 设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁≠x₂，求证：（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）构造函数H（x）=（x+m）ln-2（x-m），x∈（m，+∞），通过导数法可研究出H（x）在x∈（m，+∞）单调递增，而H（m）=0，从而可使结论得证；
（Ⅱ）可利用分析法，不妨设0＜x₁＜x₂，要证（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2，只需证（x₁+x₂）[a（x₁+x₂）+b]＞2，只需证（x₁+x₂）[a+bx₂-（a+bx₁）]＞2（x₂-x₁），结合（Ⅰ）的结论即可使问题解决．
解答：证明：（1）令H（x）=（x+m）ln-2（x-m），x∈（m，+∞），
则H（m）=0，要证明（x+m）ln-2（x-m）＞0，
只需证H（x）=（x+m）ln-2（x-m）＞H（m），
∵H′（x）=ln+-1，
令G（x）=ln+-1，G′（x）=-，
由G′（x）=＞0得，x＞m，
∴G（x）在x∈（m，+∞）单调递增，
∴G（x）＞G（m）=0
H'（x）＞0，H（x）在x∈（m，+∞）单调递增．
H（x）＞H（m）=0，
∴H（x）=（x+m）ln-2（x-m）＞0，
（2）不妨设0＜x₁＜x₂，要证（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2，
只需证（x₁+x₂）[a（x₁+x₂）+b]＞2，
只需证（x₁+x₂）[a+bx₂-（a+bx₁）]＞2（x₂-x₁），
∵=ax₁+b，=ax₂+b，
即（x₁+x₂）ln＞2（x₂-x₁）（*），
而由（1）知（*）成立．
所以（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数H（x）=（x+m）ln-2（x-m），x∈（m，+∞）是关键，探讨H（x）在x∈（m，+∞）单调递增是难点，突出考查分析法证题的作用，属于难题．