题目内容
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的
倍，其上一点到右焦点的最短距离为
．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+b与圆O：
相切，且交椭圆C于A、B两点，求当△AOB的面积最大时直线l的方程．
【答案】分析：（1）设椭圆
右焦点（c，0），则
，由此能够求出椭圆C的标准方程．
（2）由Qy=kx+b与圆
相切，知
．由
消y得（1+3k2）x2+6kbx+3（b2-1）=0．再由根的判别式和根与系数的关系结合题设条件进行求解．
解答：
解：（1）设椭圆
右焦点（c，0）
则
由（1）得a2=3b2代a2-b2=c2得c2=2b2
代（2）得
∴
∴
（2）Qy=kx+b与圆
相切
∴
∴
由
消y得（1+3k2）x2+6kbx+3（b2-1）=0
又△=12（3k2-b2+1）（3）
，
∴|AB|2=（1+k2）（x1-x2）2
=
=
=
=
=
当k=0时，|AB|2=3，
当k≠0时，
（当
时“=”成立）
∴|AB|max=2
∴
此时b2=1且（3）式△＞0
∴
点评：本题考查椭圆方程的求法和三角形面积最大值的计算，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
右焦点（c，0），则，由此能够求出椭圆C的标准方程．（2）由Qy=kx+b与圆
相切，知．由消y得（1+3k2）x2+6kbx+3（b2-1）=0．再由根的判别式和根与系数的关系结合题设条件进行求解．解答：
解：（1）设椭圆右焦点（c，0）则
由（1）得a2=3b2代a2-b2=c2得c2=2b2
代（2）得
∴∴
（2）Qy=kx+b与圆
相切∴
∴
由
消y得（1+3k2）x2+6kbx+3（b2-1）=0又△=12（3k2-b2+1）（3）
，∴|AB|2=（1+k2）（x1-x2）2
=
=
==
=
当k=0时，|AB|2=3，
当k≠0时，
（当
时“=”成立）∴|AB|max=2
∴
此时b2=1且（3）式△＞0
∴
点评：本题考查椭圆方程的求法和三角形面积最大值的计算，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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