Question

已知，正项数列{a_n}是首项为2的等比数列，且a₂+a₃=24．
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=

2n

3an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出等比数列的公比，由已知列式求得公比，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）把{a_n}的通项公式代入b_n=

2n

3an

，利用错位相减法求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），
由a₁=2，a₂+a₃=24，得2（q+q²）=24，解得：q=-4（舍）或q=3．
则an=2•3n-1；
（2）b_n=

2n

3an

=

2n

2•3n

=

n

3n

．
则Tn=

1

31

+

2

32

+…+

n

3n

．
则

1

3

Tn=

1

32

+

2

33

+…+

n

3n+1

．
两式作差得：

2

3

Tn=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

-

n

3n+1

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n+1

．
故Tn=

3

4

(1-

1

3n

)-

n

2•3n

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．