Question

已知数列{S_n}的前n项和为S_n=n²+n．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）令b_n=a n×2n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）利用a₁=s₁，n≥2时，a_n=s_n-s_n-1，可求通项
（II）由已知：bn=2n•2n=n•2ⁿ⁺¹，利用错位相减可求和

解答：解：（I）当n=1时，a₁=s₁=2
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=（n²+n）-[（n-1）²+（n-1）]=2n
n=1时，也适合上式．
∴a_n=2n
（II）由已知：bn=2n•2n=n•2ⁿ⁺¹
Tn=1•22+2•23+…+n•2n+1①
2T_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²②
①-②得-Tn=22+23+…+2n+1-n•2n+2
=

4(1-2n)

1-2

-n•2n+2=2ⁿ⁺²-4-n•2ⁿ⁺²
∴Tn=(n-1)•2n+2+4

点评：本题主要考查了数列的递推公式a₁=s₁，n≥2时，a_n=s_n-s_n-1，在数列的通项公式求解中的应用，注意检验a₁是否适合通项，而错位相减法求解数列的和是数列求和的重要方法，要注意掌握