Question

如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x²＝2py(p>0)上．

(1)求抛物线E的方程；

(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，以PQ为直径的圆是否恒过y轴上某定点M，若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)依题意，得|OB|＝8，根据对称性知，∠BOy＝30°.

设点B(x，y)，则x＝8×sin 30°＝4，

y＝8×cos 30°＝12，

所以B(4，12)在抛物线上，

所以(4)²＝2p×12，解得p＝2，

抛物线E的方程为x²＝4y.

(2)设点P(x₀，y₀)(x₀≠0)，因为y＝x²，y′＝x，

直线l的方程为y－y₀＝x₀(x－x₀)，

即y＝x₀x－x.

设满足条件的定点M存在，坐标为M(0，y₁)，

又y₀＝x(x₀≠0)，联立解得y₁＝1，

故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M(0,1)．