Question

14．（Ⅰ）在等差数列{a_n}中，a₆=10，S₅=5，求该数列的第8项a₈；
（Ⅱ）在等比数列{b_n}中，b₁+b₃=10，b₄+b₆=$\frac{5}{4}$，求该数列的前5项和S₅．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差数列通项公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出该数列的第8项a₈．
（Ⅱ）法一：由等比数列通项公式列出方程组，求出首项与公比，由此能求出该数列的前5项和S₅；
法二：由$（{b_1}+{b_3}）{q^3}={b_4}+{b_6}$，得$10{q^3}=\frac{5}{4}$，从而求出公比，进而得b₁，由此能求出该数列的前5项和S₅．

解答 （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由已知a₆=10，S₅=5，
得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+5d=10\\ 5{a_1}+\frac{5（5-1）}{2}d=5\end{array}\right.$，（2分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=-5\\ d=3\end{array}\right.$，（4分）
所以a₈=a₁+7d=-5+7×3=16．（5分）
（或者a₈=a₆+2d=10+2×3=16）
（Ⅱ）解法一：设数列{b_n}的公比为q，由已知${b_1}+{b_3}=10，{b_4}+{b_6}=\frac{5}{4}$，
得$\left\{\begin{array}{l}{b_1}+{b_1}{q^2}=10\\{b_1}{q^3}+{b_1}{q^5}=\frac{5}{4}\end{array}\right.$，（7分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{b_1}=8\\ q=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，（9分）
所以${S_5}=\frac{{{b_1}（1-{q^5}）}}{1-q}$=$\frac{8[1-（\frac{1}{2}）^{5}]}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{31}{2}$．（10分）
解法二：设数列{b_n}的公比为q．
由$（{b_1}+{b_3}）{q^3}={b_4}+{b_6}$，得$10{q^3}=\frac{5}{4}$，（6分）
从而得$q=\frac{1}{2}$．（7分）
又因为${b_1}+{b_3}={b_1}（1+{q^2}）={b_1}×\frac{5}{4}=10$，（8分）
从而得b₁=8．（9分）
所以${S_5}=\frac{{{b_1}（1-{q^5}）}}{1-q}$=$\frac{{8（1-{{（1/2）}^5}）}}{1-（1/2）}=\frac{31}{2}$．（10分）

点评 本题考查等差数列的第8项和求法，考查等比数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．