Question

7．已知命题p：“?x∈[0，1]，a≥e^x”；命题q：“?x₀∈R，x${\;}_{0}^{2}$+4x₀+a=0”．若命题“p∧q”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，4]
• B． （-∞，1）∪（4，+∞）
• C． （-∞，e）∪（4，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 对于命题p：利用e^x在x∈[0，1]上单调递增即可得出a的取值范围，对于命题q利用判别式△≥0即可得出a的取值范围，再利用命题“p∧q”是假命题，求其交集即可．

解答 解：对于命题p：?x∈[0，1]，a≥e^x，
∴a≥（e^x）_max，x∈[0，1]，
∵e^x在x∈[0，1]上单调递增，
∴当x=1时，e^x取得最大值e，
∴a≥e．
对于命题q：?x₀∈R，x₀²+4x₀+a=0，
∴△=4²-4a≥0，解得a≤4．
若命题“p∧q”是假命题，
则p与q一真一假时：
得：$\left\{\begin{array}{l}{a≥e}\\{a＞4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜e}\\{a≤4}\end{array}\right.$，解得：a＞4或a＜e，
p，q均是假命题时：
$\left\{\begin{array}{l}{a＜e}\\{a＞4}\end{array}\right.$，无解，
综上：a∈（-∞，e）∪（4，+∞），
故选：C．

点评 本题考查了指数函数的单调性、一元二次方程有实数根与判别式的关系、简易逻辑的有关知识，考查了计算能力与推理能力，属于基础题．