Question

19．如图，梯形ABCD中：AB∥DC，AB=2DC=10，BD=$\frac{4}{3}$AD=8，PO⊥平面ABCD，O、N分别是AD、AP的中点．
（1）求证：DN∥平面PBC．
（2）若PA与平面ABCD所成的角为$\frac{π}{4}$，且$\frac{PM}{MC}$=$\frac{5}{4}$，求二面角P-AD-M的正切值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能证明DN∥平面PBC．
（2）由$\overrightarrow{PA}$=（3，0，-t），平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），利用PA与平面ABCD所成的角为$\frac{π}{4}$，求出P（3，0，3），进而求出平面DAM的法向量和平面PAD的法向量，利用向量法能求出二面角P-AD-M的正切值．

解答 证明：（1）∵AB=2DC=10，BD=$\frac{4}{3}$AD=8，
∴AD=6，AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，
∵PO⊥平面ABCD，
∴以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，
过D作平面ABCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
D（0，0，0），A（6，0，0），
设P（3，0，t），（t＞0），
则N（$\frac{9}{2}$，0，$\frac{t}{2}$），B（0，8，0），
C（-3，4，0），
$\overrightarrow{CB}$=（3，4，0），$\overrightarrow{CP}$=（6，-4，t），
$\overrightarrow{DN}$=（$\frac{9}{2}$，0，$\frac{t}{2}$），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=3x+4y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=6x-4y+tz=0}\end{array}\right.$，取x=4，得y=-3，则$\overrightarrow{n}$=（4，-3，-$\frac{36}{t}$），
$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DN}$=18-18=0，
∵DN?平面PBC，∴DN∥平面PBC．
解：（2）$\overrightarrow{PA}$=（3，0，-t），平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵PA与平面ABCD所成的角为$\frac{π}{4}$，
∴sin$\frac{π}{4}$=|cos＜$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{m}|}$|=$\frac{t}{\sqrt{9+{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得t=3．∴P（3，0，3），
设M（a，b，c），∵$\frac{PM}{MC}$=$\frac{5}{4}$，∴4$\overrightarrow{PM}$=5$\overrightarrow{MC}$，4（a-3，b，c-3）=5（-3-a，4-b，-c），
解得a=-$\frac{1}{3}$，b=$\frac{20}{9}$，c=$\frac{4}{3}$，∴M（-$\frac{1}{3}$，$\frac{20}{9}$，$\frac{4}{3}$），
$\overrightarrow{DA}$=（6，0，0），$\overrightarrow{DM}$=（-$\frac{1}{3}$，$\frac{20}{9}$，$\frac{4}{3}$），
设平面DAM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=6x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=-\frac{1}{3}x+\frac{20}{9}y+\frac{4}{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=3，得$\overrightarrow{m}$=（0，3，-5），
平面PAD的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，1，0），
设二面角P-AD-M的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{3}{\sqrt{9+25}}$=$\frac{3}{\sqrt{34}}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{3}{\sqrt{34}}）^{2}}$=$\frac{5}{\sqrt{34}}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\frac{5}{\sqrt{34}}}{\frac{3}{\sqrt{34}}}$=$\frac{5}{3}$，
∴二面角P-AD-M的正切值为$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．