Question

13．已知a∈R，函数f（x）=e^x-a（x+1）的图象与x轴相切．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x＞1时，f（x）＞mx²，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，设出切点的坐标，得到方程组，求出a的值，从而求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为m＜$\frac{{e}^{x}-（x+1）}{{x}^{2}}$，记g（x）=$\frac{{e}^{x}-（x+1）}{{x}^{2}}$，x＞1，结合函数的单调性求出m的具体范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，依题意，设切点为（b，0），
则 $\left\{\begin{array}{l}{f（b）=0}\\{f′（b）=0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{{e}^{b}-a（b+1）=0}\\{{e}^{b}-a=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{a=1}\end{array}\right.$，
所以f′（x）=e^x-1，
所以，当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0．
所以，f（x）的单调递减区间为（-∞，0），单调递增区间为（0，+∞）．
（2）∵x＞1时，f（x）＞mx²，即e^x-（x+1）＞mx²，
∴m＜$\frac{{e}^{x}-（x+1）}{{x}^{2}}$，
记g（x）=$\frac{{e}^{x}-（x+1）}{{x}^{2}}$，x＞1，
g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）+x+2}{{x}^{3}}$，
记h（x）=e^x（x-2）+x+2，
则h′（x）=e^x（x-1）+1，
∵x＞1时，h′（x）＞0，
∴y=h（x）在（1，+∞）递增，
∴x＞1时，h（x）＞h（1）=3-e＞0，
记g′（x）＞0，
∴y=g（x）在（1，+∞）递增，
∴x＞1时，g（x）＞g（1）=e-2，
∴m≤e-2．

点评 本小题主要考查导数的几何意义、函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．