题目内容
12．已知sinα+cosα=$\frac{4}{3}$，则cos2（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{9}$．分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin2α的值，再利用二倍角公式求得cos2（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1+cos（\frac{π}{2}+2α）}{2}$=$\frac{1-sin2α}{2}$ 的值．
解答 解：∵sinα+cosα=$\frac{4}{3}$，∴1+sin2α=$\frac{16}{9}$，∴sin2α=$\frac{7}{9}$，
则cos2（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1+cos（\frac{π}{2}+2α）}{2}$=$\frac{1-sin2α}{2}$=$\frac{1-\frac{7}{9}}{2}$=$\frac{1}{9}$，
故答案为：$\frac{1}{9}$．
点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
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