Question

(2006全国Ⅰ，19)如下图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在上，C在上，AM=MB=MN．

(1)证明：AC⊥NB；

(2)若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)由已知⊥MN，⊥，MN∩=M，可得⊥平面ABN． 由已知MN⊥，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB． (2)∵Rt△CNA≌Rt△CNB， ∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形． ∵Rt△ANB≌Rt△CNB， ∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角． 在Rt△NHB中,． 解法二：如下图，建立空间直角坐标系M—xyz． 令MN=1，则有A(－1，0，0)，B(1，0，0)，N(0，1，0)． (1)∵MN是、的公垂线，⊥．∴⊥平面ABN． ∴平行于z轴． 故可设C(0，1，m)． 于是=(1，l，m)，(1，－1，0)， ∵=1＋(－1)＋0=0，∴AC⊥NB． (2)∵=(1，1，m)，=(－1，1，m)，∴， 又已知∠ACB=60°，∴△ABC为正三角形，AC=BC=AB=2． 在Rt△CNB中，，可得，故C(0，1，)． 连结MC，作NH⊥MC于H，设H(0，λ，λ)(λ>0)． =(0，1λ，λ)，=(0，1，)． ∵，∴． ∴H，可得， 连结BH，， ∵，∴， 又MC∩BH=H， ∴HN⊥平面ABC，∠NBH为NB与平面ABC所成的角． 又， ∴．

提示：

剖析：用向量法证明线线垂直较好．把几何问题转化为代数问题求解．线面角的求法可用综合法或向量法．