Question

若实数a，b，c成等差数列，直线ax+by+c=0被圆x²+y²=5截得线段中心的轨迹方程是

 

．

Answer 1

分析：由垂径定理可得直线ax+by+c=0被圆x²+y²=5截得线段中心，即为直线ax+by+c=0被圆x²+y²=5截得线段中心即为直线ax+by+c=0与直线bx-ay=0交点，设该点坐标为（x，y），联立直线方程，结合实数a，b，c成等差数列，化简后，即可得到直线ax+by+c=0被圆x²+y²=5截得线段中心的轨迹方程．

解答：解：如图所示，直线ax+by+c=0被圆x²+y²=5截得线段中心即为直线ax+by+c=0与直线bx-ay=0交点

设该点坐标为（x，y），则

x= -ac a2+b2 y= -bc a2+b2

且

c2=(ax+by)2 b2x2+a2y2=2abxy

又∵实数a，b，c成等差数列，
∴2b-a-c=0，即

-2bc

a2+b2

+

ac

a2+b2

+

c2

a2+b2

=0
即2y-x+

(ax+by)2

a2+b2

=2y-x+

a2x2+b2y2+2abxy

a2+b2

=2y-x+

a2x2+b2y2+b2x2+a2y2

a2+b2

=2y-x+

(a2+b2)(x2+y2)

a2+b2

=2y-x+x²+y²=0
即(x-

1

2

)2+(y+1)2=

5

4

故直线ax+by+c=0被圆x²+y²=5截得线段中心的轨迹方程是(x-

1

2

)2+(y+1)2=

5

4

故答案为：(x-

1

2

)2+(y+1)2=

5

4

．

点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中根据垂径定理可得直线ax+by+c=0被圆x²+y²=5截得线段中心，即为直线ax+by+c=0被圆x²+y²=5截得线段中心即为直线ax+by+c=0与直线bx-ay=0交点，是解答本题的关键．