Question

14．设a_n=3ⁿ，求证：$\frac{1}{2}$[1-（$\frac{1}{3}$）ⁿ]＜$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$＜1．

Answer 1

分析 $\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3-1}+\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$…+\frac{1}{{3}^{n}-1}$＞$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$，$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3-1}+\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$…+\frac{1}{{3}^{n}-1}$＜$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$，由此利用等比数列的前n项和公式能证明$\frac{1}{2}$[1-（$\frac{1}{3}$）ⁿ]＜$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$＜1．

解答 证明：∵a_n=3ⁿ，
∴$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3-1}+\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$…+\frac{1}{{3}^{n}-1}$
＞$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$[1-（$\frac{1}{3}$）ⁿ]．
$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3-1}+\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$…+\frac{1}{{3}^{n}-1}$
＜$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1．
∴$\frac{1}{2}$[1-（$\frac{1}{3}$）ⁿ]＜$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$＜1．

点评 本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．