Question

1．已知向量$\overrightarrow a$=（${2sin\frac{x}{4}$，cos$\frac{x}{2}}$），$\overrightarrow b$=（cos$\frac{x}{4}$，1），且f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-π，π]上的最大值和最小值及取得最值时x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式化简函数，再求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用三角函数的图象与性质，整体思维求函数f（x）在区间[-π，π]上的最大值和最小值及取得最值时x的值．

解答 解：（Ⅰ） $f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=2sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+cos\frac{x}{2}$…（1分）
=$sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}$…（2分）
=$\sqrt{2}（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos\frac{x}{2}}）$…（3分）
=$\sqrt{2}（{sin\frac{x}{2}cos\frac{π}{4}+cos\frac{x}{2}sin\frac{π}{4}}）$=$\sqrt{2}sin（{\frac{x}{2}+\frac{π}{4}}）$…（5分）
∴f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{{\frac{1}{2}}}=4π$…（6分）
（Ⅱ）∵x∈[-π，π]，∴$\frac{x}{2}+\frac{π}{4}∈[{-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]$，…（7分）
当$\frac{x}{2}+\frac{π}{4}=-\frac{π}{4}$，即x=-π时，$f{（x）_{min}}=\sqrt{2}sin（{-\frac{π}{4}}）=-\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=-1$；…（9分）
当$\frac{x}{2}+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{2}$时，$f{（x）_{max}}=\sqrt{2}sin\frac{π}{2}=\sqrt{2}$…（11分）
∴当x=-π时，函数f（x）取得最小值-1；当$x=\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值$\sqrt{2}$．                …（12分）

点评 本题考查向量的数量积公式，辅助角公式，考查三角函数的性质，正确化简是关键．