Question

16．已知向量$\overrightarrow{m}$=（1，1），向量$\overrightarrow{n}$与向量$\overrightarrow{m}$的夹角为$\frac{3π}{4}$，且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1．
（1）求向量$\overrightarrow{n}$；
（2）设向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），向量$\overrightarrow{b}$=（cosx，2cos²（$\frac{π}{3}-\frac{x}{2}$）），其中0＜x＜$\frac{2π}{3}$，若$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{a}$=0，试求|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{b}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令$\overrightarrow{n}$=（x，y），由已知列关于x，y的方程组，求解即可得到向量$\overrightarrow{n}$；
（2）求出$\overrightarrow{n}+\overrightarrow{b}$的坐标，代入向量模的公式，整理后由x的范围求解．

解答 解：（1）令$\overrightarrow{n}$=（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}x+y=-1\\ \sqrt{2}•\sqrt{{x^2}+{y^2}}cos\frac{3π}{4}=-1\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
故$\overrightarrow{n}$=（-1，0）或$\overrightarrow{n}$=（0，-1）；
（2）∵$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{a}$=0，
∴$\overrightarrow{n}$=（0，-1），$\overrightarrow{n}+\overrightarrow{b}$=$（{cosx，2co{s^2}（{\frac{π}{3}-\frac{x}{2}}）-1}）=（{cosx，cos（{\frac{2π}{3}-x}）}）$，
故${|{n+b}|^2}=co{s^2}x+{cos^2}（{\frac{2π}{3}-x}）=\frac{1+cos2x}{2}+\frac{{1+cos（{\frac{4π}{3}-2x}）}}{2}$
=1+$\frac{1}{2}[{cos2x+cos（{\frac{4π}{3}-2x}）}]=1+\frac{1}{2}[{cos2x-cos（{\frac{π}{3}-2x}）}]$
=1+$\frac{1}{2}[{cos2x-\frac{1}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x}]=1+\frac{1}{2}[{\frac{1}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x}]$
=1+$\frac{1}{2}cos（{2x+\frac{π}{3}}）$．
∵0＜x＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{3}＜2x+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{3}$，
则-1≤cos（$2x+\frac{π}{3}$）＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}≤$$|\overrightarrow{n}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$＜$\frac{5}{4}$，
故$\frac{\sqrt{2}}{2}≤|\overrightarrow{n}+\overrightarrow{b}|$＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，训练了三角函数中的恒等变换应用，是中档题．