Question

研究表明：某商品在近40天内，商品的单价f（t）（元）与时间t（天）的一次函数，这里t∈Z．已知第20天时，该商品的单价为27元，第40天时，该商品的单价为32元．
（1）求出函数f（t）的解析式；
（2）已知该种商品的销售量与时间t（天）的函数关系式为g(t)=-

1

3

t+

112

3

(0≤t≤40，t∈Z)．求这种商品在这40天内哪一天的销售额y最高？最高为多少（精确到1元）？

Answer 1

分析：（1）根据第20天时，该商品的单价为27元，40天时，该商品的单价为32元，可建立方程组，从而求出实数a，b的值．
（2）先根据销售额=销售量×商品的单价得到销售额的函数，再利用二次函数的性质研究函数的最值，从而求出所求．

解答：解：（1）由题意，设f（t）=at+b，这里a，b为常数．
∴

f(20)=27 f(40)=32

，
∴

20a+b=27 40a+b=32

∴a=

1

4

，b=22
所以f（t）=

1

4

t+22
（2）∵该种商品的销售量与时间t（天）的函数关系式为g(t)=-

1

3

t+

112

3

(0≤t≤40，t∈Z)．
∴销售额为y=f（t）g（t）=(

1

4

t+22)(-

1

3

t+

112

3

)（0≤t≤40，t∈Z）
y=(

1

4

t+22)(-

1

3

t+

112

3

)=-

1

12

(t-12)2+

112×22

3

+12
∴t=12时，ymax=

112×22

3

+12≈833
答：这种商品在这40天内第12天的销售额最高，最高为833元．

点评：本题的考点是函数最值的运用，考查函数模型的构建与最值问题，同时考查了计算能力，属于中档题．