Question

如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，，⊥平面SAD，点是的中点，且，.

（1）求四棱锥的体积；

（2）求证：∥平面；

（3）求直线和平面所成的角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）证得侧棱底面，体积。

（2）证得 ∥且，

由四边形是平行四边形，得到 ∥，推出∥平面 。

（3）直线和平面所成的角的正弦值是。

【解析】

试题分析：（1）∵ ⊥底面,底面,底面

∴ ⊥, ⊥

∵ ,、是平面内的两条相交直线

∴ 侧棱底面            2分

在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，

，，∴ ∥且，

所以，四棱锥的体积是。

（2）在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，

，

∴ ∥且，

∴ ∥且

∴ 四边形是平行四边形

∴ ∥

∵，

∴ ∥平面             8分

（3）∵ 侧棱底面，底面

∴

∵垂直于，、是平面内的两条相交直线

∴ ，垂足是点

∴ 是在平面内的射影，

∴ 是直线和平面所成的角

∵ 在中，，

∴

∴

∴  直线和平面所成的角的正弦值是            12分

考点:平行关系，垂直关系，体积与角的计算。

点评：中档题，立体几何问题中，平行关系、垂直关系，角、距离、面积、体积等的计算，是常见题型，基本思路是将空间问题转化成为平面问题，利用平面几何知识加以解决。要注意遵循“一作，二证，三计算”。利用“向量法”，通过建立空间直角坐标系，往往能简化解题过程。