Question

6．已知函数f（x）=sinx+cos（x+$\frac{π}{6}$），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若x是第二象限角，且f（x-$\frac{π}{12}$）=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$cos2x，求cosx-sinx的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的诱导公式化简f（x）即可求出f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）把x-$\frac{π}{12}$代入f（x）化简得$-\frac{{\sqrt{5}}}{2}（sinx+cosx）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）$，再分类讨论，当sinx+cosx=0和sinx+cosx≠0时，求出cosx-sinx的值即可．

解答 解：（1）由$f（x）=sinx+cosx•\frac{{\sqrt{3}}}{2}-sinx•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx=sin（x+\frac{π}{3}）$，
∴f（x）最小正周期T=2π．
由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤$x+\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，得$\frac{5}{6}π-2kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+2kπ$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[$-\frac{5π}{6}+2kπ\;，\;\;\frac{π}{6}+2kπ$]，k∈Z；
（2）由已知，有$sin（x-\frac{π}{12}+\frac{π}{3}）=sin（x+\frac{π}{4}）=-\frac{\sqrt{10}}{5}cos2x$，
于是 $sinxcos\frac{π}{4}+cosxsin\frac{π}{4}=-\frac{{\sqrt{10}}}{5}（{cos^2}x-{sin^2}x）$，
即$-\frac{{\sqrt{5}}}{2}（sinx+cosx）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）$．
当sinx+cosx=0时，由x是第二象限角，知$x=2kπ+\frac{3π}{4}$，k∈Z．
此时cosx-sinx=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}=-\sqrt{2}$．
当sinx+cosx≠0时，得$cosx-sinx=-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
综上所述，$cosx-sinx=-\sqrt{2}$或$-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的周期及单调性，是中档题．