题目内容
15．已知二次函数f（x）=ax2+bx，若f（x+1）为偶函数，且方程f（x）=x有且只有一个实数根．求函数f（x）的解析式．分析 求出函数f（x+1）的解析式，利用函数是偶函数求出a，b的方程，通过方程f（x）=x有且只有一个实数根，求出a，b的方程，即可得到函数的解析式．
解答 解：二次函数f（x）=ax2+bx，
f（x+1）=ax2+2ax+bx+b+1，为偶函数，可得2a+b=0．
方程f（x）=x有且只有一个实数根．
即ax2+bx=x有且只有一个实数根，可得b=1，
则a=$-\frac{1}{2}$．
二次函数f（x）=-$\frac{1}{2}$x2+x．
点评 本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的简单性质的应用，考查计算能力．
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