Question

如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：
（1）平面MENF⊥平面BDD′B′；
（2）当且仅当x=

1

2

时，四边形MENF的面积最小；
（3）四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]，则y=f（x+

1

2

）是偶函数；
（4）四棱锥C′-MENF的体积V=h（x）为常函数；
以上命题中真命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：平行投影及平行投影作图法

专题：空间位置关系与距离

分析：①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD′B′．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③求出周长的解析式，结合函数奇偶定义即可．④求出四棱锥的体积，进行判断．

解答：解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以（1）正确．
②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=

1

2

时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以（2）正确．
③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．函数L=f（x）=4

(x- 1 2 )2+1

，y=f（x+

1

2

）=4

x2+1

，（x∈[-

1

2

，

1

2

]）为偶函数，故所以（3）正确．
④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'-MENF的体积V=h（x）为常函数，所以（4）正确．
故答案为（1）（2）（3）（4）

点评：本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．