Question

12．已知函数f（x）=x-xlnx，数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{e}$，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：$\frac{1}{e}≤{a_n}＜{a_{n+1}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）推导出x＞0，f′（x）=1-lnx-1=-lnx，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．
（2）由数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{e}$，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，结合f（x）的单调性利用数学归纳法能证明：$\frac{1}{e}≤{a_n}＜{a_{n+1}}＜1$．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x-xlnx，
∴x＞0，f′（x）=1-lnx-1=-lnx，
由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1．
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
证明：（2）∵数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{e}$，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
∴①$n=1，{a_2}=\frac{2}{e}$，满足$\frac{1}{e}≤{a_1}＜{a_2}＜1$．
②假设n=k（k≥1），$\frac{1}{e}≤{a_k}＜{a_{k+1}}＜1$成立，
则n=k+1时，
由（1）知，f（x）在（0，1）上为增函数，
∴当$x∈[\frac{1}{e}，1）$时，$f（x）∈[\frac{2}{e}，1）$
∴$f（\frac{1}{e}）≤f（{a_k}）＜f（{a_{k+1}}）＜f（1）$$⇒\frac{2}{e}≤{a_k}＜{a_{k+1}}＜1$$⇒\frac{1}{e}≤{a_k}＜{a_{k+1}}＜1$
由①②知：$\frac{1}{e}≤{a_n}＜{a_{n+1}}＜1$．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和数学归纳法的合理运用．