Question

20．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，tan$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{3}$，cos（β-α）=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
（1）求sinα的值；
（2）求β的值．

Answer 1

分析 （1）由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得sinα的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系求得sin（β-α）的值，再利用两角和的余弦公式求得 cosβ=cos[（β-α）+α]的值，可得β的值．

解答 解：（1）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，tan$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{3}$，∴sinα=$\frac{2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}}{{sin}^{2}\frac{α}{2}{+cos}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{{tan}^{2}\frac{α}{2}+1}$=$\frac{3}{5}$．
（2）由（1）可得cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$．
根据0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，可得β-α∈（ 0，π），结合cos（β-α）=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，可得β-α为钝角，
∴sin（β-α）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（β-α）}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴cosβ=cos[（β-α）+α]=cos（β-α）cosα-sin（β-α）sinα=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$•$\frac{4}{5}$-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$•$\frac{3}{5}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴β=$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和的余弦公式的应用，属于基础题．