Question

13．已知全集U=R，集合A={x|y=log₂（11-x²）＞1}，B={x|x²-x-6＞0}，M={x|x²+bx+c≥0}．
（1）求A∩B； 
（2）若∁_UM=A∩B，求b、c的值．
（3）若x²+bx+c=0一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，求z=-2b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解对数不等式，求得A，解一元二次不等式，求得B，可得A∩B．
（2）由题意可得M={x|x≤-3或 x≥-2 }，-3和-2是x²+bx+c=0的两个实数根，利用韦达定理求得b、c的值．
（3）设f（x）=x²+bx+c，则由题意求得（b，c）的范围，画出可行域，利用简单的线性规划问题，求得z=-2b+c的取值范围．

解答 解：（1）全集U=R，集合A={x|y=log₂（11-x²）＞1}={x|11-x²＞2}={x|-3＜x＜3}，
B={x|x²-x-6＞0}={x|x＜-2，或x＞3}，A∩B={x|-3＜x＜-2}．
（2）∵∁_UM=A∩B={x|-3＜x＜-2}，∴M={x|x≤-3或 x≥-2 }，
故-3和-2是x²+bx+c=0的两个实数根，
∴-3+（-2）=-b，∴b=5，-3•（-2）=c=6，即b=5，c=6．
（3）若x²+bx+c=0一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，
令f（x）=x²+bx+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=c＞0}\\{f（1）=b+c+1＜0}\\{f（2）=2b+c+4＞0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{c＞0}\\{b+c+1＜0}\\{2b+c+4＞0}\end{array}\right.$，表示的区域如图阴影部分所示，
z=-2b+c，即c=2b+z，表示一组斜率等于2的平行直线，
故当直线2b-c+z=0经过点C（-1，0）时，z取得最小值为2，
当直线2b-c+z=0经过点A（-3，2）时，z取得最大值为8，
故z的取值范围为（2，8）．

点评 本题主要考查方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．