Question

10．定义在R上的偶函数y=f（x），恒有f（x+4）=f（x）-f（-2）成立，且f（0）=1，当0≤x₁＜x₂≤2时，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则方程f（x）-lg|x|=0的根的个数为（　　）

• A． 12
• B． 10
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 令x=-2得出f（2）=f（-2）=0，于是f（x）=f（x+4），从而得出f（x）的周期为4，根据f（x）的奇偶性及[0，2]上单调性做出y=f（x）与y=lg|x|的函数图象，根据函数图象交点个数判断．

解答 解：∵f（x）是R上的偶函数，且f（x+4）=f（x）-f（-2），
∴f（-2+4）=f（-2）-f（-2）=0，
∴f（2）=f（-2）=0．
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数．
∵当0≤x₁＜x₂≤2时，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
∴f（x）在[0，2]上是减函数，在[-2，0]上是增函数．
做出y=f（x）与y=lg|x|的函数的部分图象如下：

由图象可知y=f（x）与y=lg|x|在（0，+∞）上有5个交点，
根据函数的对称性可知y=f（x）与y=lg|x|在（-∞，0）上有5个交点，
∴方程f（x）-lg|x|=0有10个根．
故选：B．

点评 本题考查了函数的奇偶性，单调性，函数零点个数判断，属于中档题．