Question

6．已知函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$为奇函数．
（1）求a的值；
（2）试判断函数f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对任意的t∈R，不等式f[t²-（m-2）t]+f（t²-m+1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接利用奇函数的定义f（-x）=f（x），可求出a值；
（2）直接利用函数的单调性定义证明即可；
（3）利用奇函数与单调性直接转化为t²-（m-2）t＞m-1-t² 对t∈R恒成立，从而求出m的取值范围．

解答 解：（1）由于函数f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）；
∴a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=-a+$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$；
∴2a=$\frac{2•{2}^{x}}{{2}^{x}+1}+\frac{2}{{2}^{x}+1}$；
∴a=1．
（2）任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂；
f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$；
=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0；
∵x₁＜x₂∴0＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$
∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$＞0，
所以，f（x₁）＜f（x₂）；
则f（x）为R上的单调递增函数．
（3）因为f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$为奇函数，且在R上为增函数；
所以由f（t²-（m-2）t）+f（t²-m+1）＞0恒成立，
得到：t²-（m-2）t＞m-1-t² 对t∈R恒成立；
化简后：2t²-（m-2）t-m+1＞0；
所以△=（m-2）²+8（m-1）＜0；
∴-2-2$\sqrt{2}$＜m＜-2+2$\sqrt{2}$；
故m的取值范围为：（-2-2$\sqrt{2}$，-2+2$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性，函数单调性定义证明，以及利用函数的性质求解不等式恒成立问题，属中等题．