Question

3．若sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，α∈（0，π），则cos2α=（　　）

• A． -$\frac{7}{9}$
• B． ±$\frac{4\sqrt{2}}{9}$
• C． $\frac{4\sqrt{2}}{9}$
• D． -$\frac{4\sqrt{2}}{9}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+$\frac{π}{4}$）的值，再利用诱导公式、二倍角公式求得cos2α=sin（$\frac{π}{2}$+2α）的值．

解答 解：∵sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{2}$=sin$\frac{π}{6}$，α∈（0，π），∴α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cos（α+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
则cos2α=sin（$\frac{π}{2}$+2α）=2sin（α+$\frac{π}{4}$）•cos（α+$\frac{π}{4}$）=2•$\frac{1}{3}$•（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$ ）=-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
故选：D．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．