Question

5．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin2x+2，cosx），\overrightarrow n=（1，2cosx）$
（1）若$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，求x的值；
（2）设函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，求f（x）的最小正周期及单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由向量共线坐标表示，结合特殊角的函数值，即可得到所求x的值；
（2）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式，化简整理，结合周期公式和单调区间，解不等式即可得到所求递减区间．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin2x+2，cosx），\overrightarrow n=（1，2cosx）$，
若$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，则cosx=2cosx（$\sqrt{3}$sin2x+2），
可得cosx=0或$\sqrt{3}$sin2x+2=$\frac{1}{2}$，
即有x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
或sin2x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即2x=2kπ+$\frac{4π}{3}$或2x=2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z，
综上可得，x═kπ+$\frac{π}{2}$，或x=kπ+$\frac{2π}{3}$，或x=kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z；
（2）函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+2
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+3=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3，
即有f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{π}$=2；
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
可得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即有单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题考查向量共线的坐标表示和向量的数量积的坐标表示，考查二倍角公式和正弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．