Question

9．已知a，b，c∈R⁺，求证：$\frac{bc}{a}$+$\frac{ac}{b}$+$\frac{ab}{c}$≥a+b+c．

Answer 1

分析 运用均值不等式：a+b≥2$\sqrt{ab}$（a=b取得等号），再由不等式的可加性，即可得证．

解答 证明：由a，b，c∈R⁺，可得
$\frac{bc}{a}$+$\frac{ac}{b}$≥2$\sqrt{\frac{bc}{a}•\frac{ac}{b}}$=2c，
$\frac{ac}{b}$+$\frac{ab}{c}$≥2$\sqrt{\frac{ac}{b}•\frac{ab}{c}}$=2a，
$\frac{bc}{a}$+$\frac{ab}{c}$≥2$\sqrt{\frac{bc}{a}•\frac{ab}{c}}$=2b，
相加可得，2（$\frac{bc}{a}$+$\frac{ac}{b}$+$\frac{ab}{c}$）≥2c+2a+2b，
即为$\frac{bc}{a}$+$\frac{ac}{b}$+$\frac{ab}{c}$≥a+b+c，
当且仅当a=b=c取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用均值不等式，以及不等式的可加性，考查推理能力，属于中档题．