题目内容
16．函数f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，|AB|为A、B两点间距离，定义φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$为曲线f（x）在点A与点B之间的“曲率”，给出以下问题：①存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数；
②函数f（x）=x3-x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则点A与点B之间的“曲率”φ（A，B）＞$\sqrt{3}$；
③函数f（x）=ax2+b（a＞0，b∈R）图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ（A，B）≤2a；
④设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线f（x）=ex上不同两点，且x1-x2=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（-∞，1）．
其中正确命题的序号为①③（填上所有正确命题的序号）．
分析 考虑一次函数，求出导数，可得φ（A，B）=0，即可判断①；求出A，B的坐标，求得φ（A，B），即可判断②；求出f（x）的导数，运用不等式的性质，可得φ（A，B）≤2a，即可判断③；求出函数的导数，运用新定义求得φ（A，B），由恒成立思想，即可得到t的范围，即可判断④．
解答 解：对于①，当函数f（x）=kx+b（k≠0）时，f′（x）=k，
φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{|k-k|}{|AB|}$=0，故①正确；
对于②，由题意可得A（1，1），B（2，5），f（x）的导数为f′（x）=3x2-2x，
可得φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{|1-8|}{\sqrt{1+16}}$=$\frac{7}{\sqrt{17}}$＜$\sqrt{3}$，故②不正确；
对于③，函数f（x）=ax2+b的导数为f′（x）=2ax，
即有φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{|2a{x}_{1}-2a{x}_{2}|}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（a{{x}_{1}}^{2}-a{{x}_{2}}^{2}）^{2}}}$=$\frac{2a}{\sqrt{1+{a}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}}$≤2a，
故③正确；
对于④，由y=ex得y′（x）=ex，
由A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=ex上两点，且x1-x2=1，
可得φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$，
由t•φ（A，B）＜1恒成立，可得t＜$\sqrt{\frac{1}{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}+1}$，
由$\sqrt{\frac{1}{（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}+1}$＞1，可得t≤1，故④不正确．
故答案为：①③．
点评 本题考查新定义的理解和运用，主要考查导数的运用：求切线的斜率，不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于中档题和易错题．
七彩题卡口算应用一点通系列答案| A． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$\sqrt{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$或$\sqrt{3}$ | D． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或3 |
现需设计2016年春季湖北省重点高中联考协作体期中考试数学试卷，该试卷含有大小相等的左右相等两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为720cm2，四周空白的宽度为4cm，两栏之间的中缝空白的宽度为2cm，设试卷的高和宽分别为xcm，ycm．
如图，四边形ABCD为菱形，EB⊥平面ABCD，EF∥BD，EF=$\frac{1}{2}$BD．