Question

9．某风景区水面游览中心计划国庆节当日投入之多3艘游船供游客观光，过去10年的数据资料显示每年国庆节当日客流量X（单位：万人）都大于1，并把客流量分成三段整理得下表：

国庆节当日客流量X	1＜X＜3	3≤X≤5	X＞5
频数	2	4	4

以这10年的数据资料记录的隔断客流量的频率作为每年客流量在隔断发生的概率，且每年国庆节当日客流量相互独立．
（1）求未来连续3年国庆节当日中，恰好有1年国庆节当日客流量超过5万人的概率；
（2）该水面游览中心希望投入的游船尽可能使用，但每年国庆节当日游船最多使用量：（单位：艘）受当日客流量X（单位：万人）的限制，其关联关系如下表：

国庆节当日客流量X	1＜X＜3	3≤X≤5	X＞5
游船最多使用量	1	2	3

若某艘游船国庆节当日使用，则水面游览中心国庆节当日可获得利润3万元，若某艘游船国庆节当日不使用，则水面游览中心国庆节当日亏损0.5万元，记Y（单位：万元）表示该水面游览中心国庆节当日获得总利润，当Y的数学期望最大时称水面游览中心在国庆节当日效益最佳，问该水面游览中心的国庆节当日应投入多少艘游船才能使该水面游览中心在国庆节当日效益最佳？

Answer 1

分析 （1）国庆节当日客流量超过5万人的概率为P₁=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$，连续3年国庆节当日中，恰好有1年国庆节当日客流量超过5万人的概率为P=${C}_{3}^{1}$（$\frac{1}{2}$）×（$\frac{3}{5}$）²=$\frac{54}{125}$；
（2）分别求得投入1艘游船时，投入2艘游船时，X的取值范围，求得其数学期望，投入3艘游船时，若1＜X＜3，则Y=3-1=2，若3≤X≤5，则Y=3×2-0.5=$\frac{11}{2}$，若X＞5，则Y=3×3=9，求得其分布列，即可求得数学期望E（Y），由于$\frac{31}{5}$＞$\frac{53}{10}$＞3，所以该水面游览中心在国庆节当日应投入3艘游船可使该水面游览中心在国庆节当日效益最佳．

解答 解：（1）因为国庆节当日客流量超过5万人的概率为P₁=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$，
∴未来连续3年国庆节当日中，恰好有1年国庆节当日客流量超过5万人的概率为P=${C}_{3}^{1}$（$\frac{1}{2}$）×（$\frac{3}{5}$）²=$\frac{54}{125}$，…（3分）
（2）当投入1艘游船时，因客流量总大于1，
所以E（Y）=3，
当投入2艘游船时，若1＜X＜3，则Y=3-0.5=$\frac{5}{2}$，
此时P（Y=$\frac{5}{2}$）=P（1＜X＜3）=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$，
若X≥3，则Y=3×2=6，此时P（Y=6）=P（3≤X≤5）+P（X＞5）=$\frac{4}{5}$，
故E（Y）=$\frac{5}{2}$×$\frac{1}{5}$+6×$\frac{4}{5}$=$\frac{53}{10}$…（7分）
当投入3艘游船时，若1＜X＜3，则Y=3-1=2，
若3≤X≤5，则Y=3×2-0.5=$\frac{11}{2}$，
若X＞5，则Y=3×3=9，
此时Y的分布列如下表：

Y	2	$\frac{11}{2}$	9
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{5}$

此时E（Y）=2×$\frac{1}{5}$+$\frac{11}{2}$×$\frac{2}{5}$+9×$\frac{2}{5}$=$\frac{31}{5}$，
由于$\frac{31}{5}$＞$\frac{53}{10}$＞3，
所以该水面游览中心在国庆节当日应投入3艘游船可使该水面游览中心在国庆节当日效益最佳．

点评 本题考查二项分别和随机变量的分布列及数学期望的应用，考查计算能力，属于中档题．