Question

已知函数（且），.

（1）若在定义域上有极值，求实数的取值范围；

（2）当时，若对，总，使得，求实数的取值范围；（其中为自然对数的底数）

（3）对，且，证明： .

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）这是导数应用的常规题，值得注意的是在定义域上有极值，等价于在定义域内有两个不等的根，而不是在定义域内有解；（2）分析题意，将问题成功地进行等价转化，转化为是解决问题的关键，接下来就是运用导数知识求两个函数的最值，并进行比较得出参数的取值范围；（3）这是赋有挑战性的一个，详见解析，但是我们要从中吸取一些对今后解题有帮助的东西，并注意一些知识的积累，如对，总有成立，它是如何证明的，从中知道是运用导数知识证明的，它又有什么作用，可以运用不等式的性质推导出一些新的不等式，这些对今后解题是很有帮助的.

试题解析：（1）的定义域为，要在定义域内有极值，则

有两不等正根，即有两不等正根 4分

（2），要对，总，使得

则只需，由得函数在上递增，在上递减，所以函数在处有最大值； 6分

，又在上递减，故

故有 9分

（3）当时，，恒成立，故在定义域上单调递减，故当时，即 12分

所以对，总有，故有

14分

考点：1.导数的应用；2.参数范围；3.不等式证明.