Question

已知函数f（x）=x²-2x，g（x）=mx+2，h（x）=f（x）+g（x）
（1）解关于x的不等式h（x）＞0；
（2）若函数h（x）在区间[0，2]的最大值为-4，求实数m；
（3）若?x₁∈[-1，2]，?x₀∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₀）．求实数m取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）原不等式等价于x²+（m-2）x+2＞0，运用二次函数与不等式的关系求解．
（2）函数h（x）=x²+（m-2）x+2，其对称轴为x=

2-m

2

，分类讨论求解．
（3）当x₀∈[-1，2]时，f（x₀）∈[-1，3]，分类讨论m＞0，若m＜0，求解即可．

解答： 解：（1）原不等式等价于x²+（m-2）x+2＞0
判别式为△=（m-2）²-8
如果△＜0，即2-

2

＜m＜2+

2

时，不等式解集为R；
如果△≥0，即m≥2+

2

或m≤2-

2

时，
相应方程的两个根分别为x1=

(2-m)- m2-4m-4

2

，x2=

(2-m)+ m2-4m-4

2

而x₂＞x₁，所以此时的解集为x∈（-∞，x₁）∪（x₂，+∞）
综上所述：
当2-

2

＜m＜2+

2

时，不等式解集为R；
当m≥2+

2

或m≤2-

2

时，解集为x∈（-∞，x₁）∪（x₂，+∞）．
（2）函数h（x）=x²+（m-2）x+2，其对称轴为x=

2-m

2

若

2-m

2

＞1，即m＞0时，h（x）_max=h（0）=2≠4；
若

2-m

2

≤1，即m≤0时，h（x）_max=h（2）=2m+2，
令2m+2=-4，则m=-3，符合要求．
所以m=-3．
（3）当x₀∈[-1，2]时，f（x₀）∈[-1，3]
若m＞0，则

g(-1)=-m+≥-1 g(2)=2m+2≤3

⇒0＜m≤

1

2

；
若m＜0，则

g(-1)=-m+2≤3 g(2)=2m+2≥-1

⇒m≥-1；
若m=0，显然成立．
综上，-1≤m≤

1

2

，

点评：本题综合考查了函数的性质，分类讨论等思想，属于中档题，难度较大，关键是解题思路要清晰．