Question

15．在△ABC中，已知∠A=30°，AB=4$\sqrt{3}$，若△ABC为锐角三角形，则AC边长可能值为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可解得：sinC=$\frac{2\sqrt{3}}{BC}$，AC=2BCsinB，由cosC＞0，利用同角三角函数基本关系式可得cosC=$\sqrt{\frac{B{C}^{2}-12}{B{C}^{2}}}$＞0，从而利用两角差的正弦函数公式化简可得AC=2BC•sin（150°-C）=$\sqrt{B{C}^{2}-12}+6$＞6，从而得解．

解答 解：∵∠A=30°，AB=4$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{4\sqrt{3}}{sinC}$=$\frac{BC}{sin30°}$=$\frac{AC}{sinB}$，解得：sinC=$\frac{2\sqrt{3}}{BC}$，AC=2BCsinB，
∵△ABC为锐角三角形，cosC＞0
∴cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\sqrt{\frac{B{C}^{2}-12}{B{C}^{2}}}$＞0，可得：BC²-12＞0，
∴AC=2BCsinB
=2BC•sin（150°-C）
=2BC•（$\frac{1}{2}$cosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC）
=2BC•（$\frac{1}{2}×$$\sqrt{\frac{B{C}^{2}-12}{B{C}^{2}}}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{BC}$）
=$\sqrt{B{C}^{2}-12}+6$＞6．
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．