Question

已知A,B分别是椭圆C1:+=1的左、右顶点,P是椭圆上异于A,B的任意一点,Q是双曲线C2:-=1上异于A,B的任意一点,a>b>0.

(1)若P（,）,Q（,1）,求椭圆C1的方程;

(2)记直线AP,BP,AQ,BQ的斜率分别是k1,k2,k3,k4,求证:k1·k2+k3·k4为定值.

 

Answer 1

【答案】

（1）+=1 （2）见解析

【解析】

(1)解:由解得

∴椭圆C1的方程为+=1.

(2)证明:由题意知A(-a,0),B(a,0),

设P(x1,y1),(x1≠±a)则+=1,

∴=b2（1-）=(a2-).

设Q(x2,y2),(x2≠±a),则-=1,

∴=b2（-1）=(-a2).

∴k1=,k2=,k3=,k3=.

∴k1·k2+k3·k4=+

=+

=0.

即k1k2+k3k4为定值,定值是0.