Question

在二项式定理C

0 n

+C

1 n

x+C

2 n

x²+…+C

n n

xⁿ=（1+x）ⁿ（n∈N^*）的两边求导后，再取x=1得到一个恒等式，这个恒等式是

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：由题意可得

C

1 n

+2x

C

2 n

+3x²

C

3 n

+…+nx^n-1

C

n n

=n•（1+x）^n-1，再取x=1，即可得到一个恒等式．

解答： 解：二项式定理C

0 n

+C

1 n

x+C

2 n

x²+…+C

n n

xⁿ=（1+x）ⁿ（n∈N^*）的两边求导后，
可得

C

1 n

+2x

C

2 n

+3x²

C

3 n

+…+nx^n-1 

C

n n

=n•（1+x）^n-1，再取x=1得到一个恒等式，
可得

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

=n2^n-1，
故答案为：

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

=n2^n-1．

点评：本题主要考查求函数的导数，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．