Question

考虑以下数列a_n，n∈N^*：①a_n=n²+n+1；②a_n=2n+1；③an=ln

n

n+1

．其中满足性质“对任意正整数n，

an+2+an

2

≤an+1都成立”的数列有

 

（写出满足条件的所有序号）；若数列a_n满足上述性质，且a₁=1，a₂₀=58，则a₁₀的最小值为

 

．

Answer 1

分析：将数列的通项代入计算验证即可，根据，

an+2+an

2

≤an+1，由取得等号时的数列来求得最小值．

解答：解：①an=n²+n+1 中

an+2+an

2

=n2+3n+4
a_n+1=n²+3n+3

an+2+an

2

＞an+1
②an=2n+1中

an+2+an

2

=2n+3
a_n+1=2n+3

an+2+an

2

=an+1
③an=ln

n

n+1

，

an+2+an

2

=

ln( n+2 n+3 • n n+1 )

2

=

ln n2+2n n2+4n+3

2

，
an+1=ln(

n+1

n+2

)，2an+1=2ln(

n+1

n+2

)=ln(

n2+2n+1

n2+4n+4

)，
计算得

an+2+an

2

＜an+1
当数列为等差数列时取等号，取得最小值
所以：a₁=1，a₂₀=a₁+（n-1）d=58
∴d=3
∴a₁₀=a₁+9d=28
∴a₁₀的最小值为：28
故答案为：②③；28

点评：本题主要考查数列中的函数思想，数列作为一种特殊的函数，在研究单调性，对称性，周期性，构造不等式研究恒成立以及与其他知识间的渗透等方面考查灵活，难度也较大，近几年高考也作为压轴题出现．