Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，点P（a_n，S_n）在直线y=2x-2上（n∈N*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=2（1-

1

an

），数列{b_n}的前n项和为T_n，求使T_n＞2011的n的最小值；
（Ⅲ）设正数数列{c_n}满足log2an+1=(cn)n+1，证明：数列{c_n}中的最大项是c₂．

Answer 1

分析：（I）利用点在直线上，推出数列是等比数列，然后求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出b_n=2（1-

1

an

）的表达式，x写出数列{b_n}的前n项和为T_n，然后直接求使T_n＞2011的n的最小值；
（Ⅲ）解法一，设正数数列{c_n}满足log2an+1=(cn)n+1，借助函数的单调性，利用导数直接证明数列{c_n}中的最大项是c₂．
解法二：直接利用数学归纳法证明，数列{c_n}中的最大项是c₂．

解答：解：（Ⅰ）依题意得s_n=2a_n-2，则n≥2时，s_n-1=2a_n-1-2∴n≥2时，s_n-s_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1…（2分）
又n=1时，a₁=2∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，以2为公比的等比数列∴an=2•2n-1=2n…（4分）
（Ⅱ）依题bn=2-(

1

2

)n-1∴Tn=2n-(1+

1

2

+

1

22

+…

1

2n-1

)=2n-

1- 1 2n

1- 1 2

 = 2n-2+2×(

1

2

)n…（7分）
由T_n＞2011，得2n-2+2×(

1

2

)n＞2011，即n+(

1

2

)n＞

2013

2

当n≤1006时，n+(

1

2

)n＜

2013

2

，当n≥1007时，n+(

1

2

)n＞

2013

2

，
因此n的最小值为1007                 …（9分）
（Ⅲ）解法一：
由已知得(cn)n+1=n+1 ， (n+1)lncn=ln(n+1)，∴lncn=

ln(n+1)

n+1

令f(x)=

lnx

x

，则 f′(x)=

1 x •x-lnx

x2

=

1-lnx

x2

…（11分）
∵当x≥3，lnx＞1，则1-1nx＜0，
即f′（x）＜0
在[3，+∞）内，f（x）为单调递减函数∴n≥2时，{lnc_n}是递减数列，即{c_n}是递减数列…（13分）
∵cn＞0，  ∴ c1=

2

，c2= 3

3

，∴c₁＜c₂∴数列{c_n}中的最大项为c2= 3

3

…（14分）
解法二：由已知得(cn)n+1=n+1，∴cn=(n+1)

1

n+1

∵c_n＞0，∴c1=

2

，c2=3

1

3

，c3=4

1

3

，c4=5

1

3

，易得c1＜c2，c2＞c3＞c4
猜想n≥3时，cn-1＞cn，  n

1

n

＞(n+1)

1

n+1

，(其中n=3，c2＞c3)，即nn+1＞(n+1)n…（11分）
下面用数学归纳法证明nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n≥3）
①n=3时，nⁿ⁺¹=81＞64=（n+1）ⁿ．所以n=3时不等式成立
②假设n=k时，不等式成立．则有kk+1＞(k+1)k，即(

k+1

k

)k＜k
当n=k+1时，(

k+2

k+1

)k+1=

k+2

k+1

(

k+2

k+1

)k＜

k+2

k+1

(

k+1

k

)k＜

k+2

k+1

k＜k+1
所以（k+1）^k+2＞（k+2）^k+1，即n=k+1时，不等式成立
由①②知nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ对一切不小于3的正整数成立．
综上所述n≥3时，c_n-1＞c_n，c₁＜c₂
所以数列中c₂最大．…（14分）

点评：本题考查数列的判定，通项公式的求法，数列的求和，数学归纳法的应用，以及数列的函数的特征，考查逻辑推理能力，计算能力．